Fie , . a) Calculați . b) Demonstrați că pentru orice .... — Rezolvare

GreuIntegrale definite

I(a) = \int_0^1 \frac{\ln(1+ax)}{1+x^2} dx

10 puncte · 7 pași

12 puncte

I'(a) = \int_0^1 \frac{x}{(1+ax)(1+x^2)} dx

22 puncte

\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)} = \frac{A}{1+ax} + \frac{Bx+C}{1+x^2}

32 puncte

I'(a) = \frac{a}{1+a^2} \cdot \frac{\ln(1+a)}{a} + \frac{1}{1+a^2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{a^2}{2(1+a^2)} \ln(1+a^2) = \frac{\ln(1+a)}{1+a^2} + \frac{\pi}{4(1+a^2)} - \frac{a^2 \ln(1+a^2)}{2(1+a^2)}

41 punct

\frac{\ln(1+ax)}{1+x^2} \leq \frac{\ln(1+a)}{1+x^2}

52 puncte

\lim_{a \to \infty} \frac{I(a)}{\ln a} = \lim_{a \to \infty} \frac{I'(a)}{1/a} = \lim_{a \to \infty} a I'(a)

61 punct

\lim_{a \to \infty} a I'(a) = \lim_{a \to \infty} \left[ \frac{a \ln(1+a)}{1+a^2} + \frac{\pi a}{4(1+a^2)} - \frac{a^3 \ln(1+a^2)}{2(1+a^2)} \right] = 0 + 0 - \frac{1}{2}

70 puncte

\lim_{a \to \infty} \frac{I(a)}{\ln a} = -\frac{1}{2}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Problemă rezolvată de Integrale definite