GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R} o funcție continuă. Considerăm șirul an=∑k=1nf(kn)⋅1n⋅kna_n = \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n}. a) Exprimați ana_n ca o sumă Riemann și deduceți că lim⁡n→∞an=∫01xf(x)dx\lim_{n \to \infty} a_n = \int_0^1 x f(x) dx. b) Dacă f(x)=exf(x) = e^x, calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n. c) Demonstrați că dacă ff este convexă, atunci an≥∫01xf(x)dxa_n \geq \int_0^1 x f(x) dx pentru orice nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
an=∑k=1nf(kn)⋅kn2=1n∑k=1nknf(kn)a_n = \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} f\left(\frac{k}{n}\right). Aceasta este o sumă Riemann pentru funcția g(x)=xf(x)g(x) = x f(x) pe [0,1][0,1] cu puncte xk=knx_k = \frac{k}{n}
22 puncte
Deoarece gg este continuă, lim⁡n→∞an=∫01xf(x)dx\lim_{n \to \infty} a_n = \int_0^1 x f(x) dx
32 puncte
Pentru f(x)=exf(x)=e^x, lim⁡n→∞an=∫01xexdx=(x−1)ex∣01=1\lim_{n \to \infty} a_n = \int_0^1 x e^x dx = (x-1)e^x \big|_0^1 = 1
42 puncte
Pentru ff convexă, inegalitatea lui Jensen: f(∑λixi)≤∑λif(xi)f\left(\sum \lambda_i x_i\right) \leq \sum \lambda_i f(x_i). Aici, considerăm λi=1n\lambda_i = \frac{1}{n} și xi=inx_i = \frac{i}{n}, dar nu direct
52 puncte
Folosim inegalitatea Hermite-Hadamard pentru funcții convexe: f(a+b2)≤1b−a∫abf(x)dx≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}. Aplicat pe subintervale [k−1n,kn][\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}], se obține ∫01xf(x)dx≤∑k=1n1n⋅knf(kn)=an\int_0^1 x f(x) dx \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = a_n

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.