GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Să se demonstreze inegalitatea sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤338\sin A \sin B \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{8} pentru orice triunghi ABCABC, unde A,B,CA, B, C sunt unghiurile triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se folosește identitatea sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=14[sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C]\sin A \sin B \sin C = \frac{1}{4}[\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C], derivată din formulele produs-suma
22 puncte
Într-un triunghi, A+B+C=πA+B+C = \pi, deci sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C
32 puncte
Se aplică inegalitatea Jensen pentru funcția concavă sin⁡x\sin x pe [0,π][0, \pi]: sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C3≤sin⁡(2A+2B+2C3)\frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{3} \leq \sin\left(\frac{2A+2B+2C}{3}\right)
42 puncte
Dar 2A+2B+2C=2π2A+2B+2C = 2\pi, deci sin⁡(2π3)=32\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
52 puncte
Rezultă sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C≤3⋅32=332\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \leq 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}, deci sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤14⋅332=338\sin A \sin B \sin C \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.