Fie , . a) Demonstrați că . b) Deduceți că . c) Calcula... — Rezolvare

GreuIntegrale definite

I_n = \int_0^1 x^n \arctan x dx

10 puncte · 5 pași

12 puncte

u = \arctan x

22 puncte

0 \leq \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x^2} dx \leq \int_0^1 x^{n+1} dx = \frac{1}{n+2}

32 puncte

n

42 puncte

I_0 = \int_0^1 \arctan x dx = x \arctan x \big|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \big|_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2

52 puncte

I_1 = \int_0^1 x \arctan x dx = \frac{x^2}{2} \arctan x \big|_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Problemă rezolvată de Integrale definite