GreuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

GreuMatrici
Fie matricele A=(1203)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, B=(2011)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} și C=(5432)C = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}. Rezolvați ecuația matriceală AX+XB=CAX + XB = C, unde X=(xyzt)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} este matricea necunoscută 2×22 \times 2. Verificați soluția găsită.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem AX=(1203)(xyzt)=(x+2zy+2t3z3t)AX = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2z & y+2t \\ 3z & 3t \end{pmatrix} și XB=(xyzt)(2011)=(2x+yy2z+tt)XB = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+y & y \\ 2z+t & t \end{pmatrix}.
22 puncte
Ecuația AX+XB=CAX + XB = C devine sistemul: x+2z+2x+y=5x+2z + 2x+y = 5, y+2t+y=4y+2t + y = 4, 3z+2z+t=33z + 2z+t = 3, 3t+t=23t + t = 2.
32 puncte
Sistemul simplificat: 3x+y+2z=53x + y + 2z = 5, 2y+2t=42y + 2t = 4, 5z+t=35z + t = 3, 4t=24t = 2. Din 4t=24t=2 obținem t=0.5t = 0.5.
42 puncte
Din 5z+t=35z + t = 3, 5z+0.5=35z + 0.5 = 3, deci z=0.5z = 0.5. Din 2y+2t=42y + 2t = 4, 2y+1=42y + 1 = 4, deci y=1.5y = 1.5. Din 3x+y+2z=53x + y + 2z = 5, 3x+1.5+1=53x + 1.5 + 1 = 5, deci x=0.8333‾x = 0.833\overline{3} sau 56\frac{5}{6}.
52 puncte
Soluția: X=(56321212)X = \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. Verificare: AX+XB=(1203)(56321212)+(56321212)(2011)=(56+132+13232)+(53+32321+1212)=(5432)=CAX + XB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{6}+1 & \frac{3}{2}+1 \\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{5}{3}+\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 1+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.