GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrie
Demonstrați identitatea trigonometrică netrivială: sin⁡3xsin⁡y+cos⁡3xcos⁡y=sec⁡(y−x)⋅sin⁡(2x−y)\frac{\sin^3 x}{\sin y} + \frac{\cos^3 x}{\cos y} = \sec(y - x) \cdot \sin(2x - y) pentru orice x,yx, y cu sin⁡y≠0\sin y \neq 0, cos⁡y≠0\cos y \neq 0, și cos⁡(y−x)≠0\cos(y - x) \neq 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se aduce membrul stâng la același numitor: sin⁡3xcos⁡y+cos⁡3xsin⁡ysin⁡ycos⁡y\frac{\sin^3 x \cos y + \cos^3 x \sin y}{\sin y \cos y}.
22 puncte
Se factorizează numărătorul: sin⁡xcos⁡x(sin⁡2xcos⁡y/(sin⁡xcos⁡x)+cos⁡2xsin⁡y/(sin⁡xcos⁡x))\sin x \cos x (\sin^2 x \cos y / (\sin x \cos x) + \cos^2 x \sin y / (\sin x \cos x)) nu direct; mai bine: sin⁡3xcos⁡y+cos⁡3xsin⁡y=sin⁡xcos⁡x(sin⁡2xcos⁡ycos⁡x+cos⁡2xsin⁡ysin⁡x)\sin^3 x \cos y + \cos^3 x \sin y = \sin x \cos x (\sin^2 x \frac{\cos y}{\cos x} + \cos^2 x \frac{\sin y}{\sin x}).
32 puncte
Alternativ, se folosește formula sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡3x4\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} și cos⁡3x=3cos⁡x+cos⁡3x4\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}, dar e complicat. Mai eficient: se scrie ca 1sin⁡ycos⁡y[sin⁡xcos⁡x(sin⁡2xcos⁡ycos⁡x+cos⁡2xsin⁡ysin⁡x)]\frac{1}{\sin y \cos y} [\sin x \cos x (\sin^2 x \frac{\cos y}{\cos x} + \cos^2 x \frac{\sin y}{\sin x})].
42 puncte
Se observă că sin⁡2xcos⁡ycos⁡x+cos⁡2xsin⁡ysin⁡x=sin⁡2xcos⁡ysin⁡x+cos⁡2xsin⁡ycos⁡xsin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡ysin⁡2x+cos⁡xsin⁡ycos⁡2xsin⁡xcos⁡x\sin^2 x \frac{\cos y}{\cos x} + \cos^2 x \frac{\sin y}{\sin x} = \frac{\sin^2 x \cos y \sin x + \cos^2 x \sin y \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin x \cos y \sin^2 x + \cos x \sin y \cos^2 x}{\sin x \cos x}.
52 puncte
Se folosește identitatea sin⁡(2x−y)=sin⁡2xcos⁡y−cos⁡2xsin⁡y=2sin⁡xcos⁡xcos⁡y−(cos⁡2x−sin⁡2x)sin⁡y\sin(2x - y) = \sin 2x \cos y - \cos 2x \sin y = 2\sin x \cos x \cos y - (\cos^2 x - \sin^2 x)\sin y. Se înmulțește cu sec⁡(y−x)=1cos⁡(y−x)=1cos⁡ycos⁡x+sin⁡ysin⁡x\sec(y - x) = \frac{1}{\cos(y - x)} = \frac{1}{\cos y \cos x + \sin y \sin x} și se verifică egalitatea cu membrul stâng prin aducere la același numitor și simplificare, cu total exact 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.