GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie I(a)=∫0π/2dxsin⁡2x+acos⁡2xI(a) = \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin^2 x + a \cos^2 x}}, a>0a > 0. a) Calculați I(a)I(a) printr-o substituție adecvată. b) Demonstrați că I(a)≤π2aI(a) \leq \frac{\pi}{2\sqrt{a}} pentru a≥1a \geq 1. c) Studiați monotonia funcției I(a)I(a) pe (0,∞)(0,\infty).

Rezolvare completă

16 puncte · 8 pași
12 puncte
Substituția t=tan⁡xt = \tan x, dx=dt1+t2dx = \frac{dt}{1+t^2}, sin⁡2x=t21+t2\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}, cos⁡2x=11+t2\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}. Atunci I(a)=∫0∞dtt2+aI(a) = \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^2 + a}}
22 puncte
Integrala: I(a)=ln⁡(t+t2+a)∣0∞=lim⁡t→∞ln⁡(t+t2+aa)=ln⁡(2a⋅∞)I(a) = \ln\left(t + \sqrt{t^2+a}\right) \big|_0^{\infty} = \lim_{t \to \infty} \ln\left(\frac{t+\sqrt{t^2+a}}{\sqrt{a}}\right) = \ln\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\cdot \infty\right)? E divergentă? Corect: ∫dtt2+a=ln⁡(t+t2+a)+C\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+a}} = \ln(t + \sqrt{t^2+a}) + C. La limită, lim⁡t→∞ln⁡(t+t2+a)=∞\lim_{t \to \infty} \ln(t+\sqrt{t^2+a}) = \infty, deci integrala e divergentă. Se revizuiește: substituția e corectă, dar integrala de la 0 la infinit e divergentă pentru că integrantul ~1/t la infinit. Deci enunțul e greșit? Se ajustează: I(a)=∫0π/2dxsin⁡2x+acos⁡2xI(a) = \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{\sin^2 x + a \cos^2 x}}, pentru a>0a>0, integrantul e mărginit, integrala e convergentă. Cu t=tan⁡xt=\tan x, I(a)=∫0∞dt(1+t2)t21+t2+a⋅11+t2=∫0∞dtt2+a(1+t2)=∫0∞dt(1+a)t2+aI(a) = \int_0^{\infty} \frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{\frac{t^2}{1+t^2} + a \cdot \frac{1}{1+t^2}}} = \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{t^2 + a(1+t^2)}} = \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{(1+a)t^2 + a}}
32 puncte
I(a)=∫0∞dta+(1+a)t2=11+a∫0∞dta1+a+t2=11+aln⁡(t+t2+a1+a)∣0∞=∞I(a) = \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{a+(1+a)t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+a}} \int_0^{\infty} \frac{dt}{\sqrt{\frac{a}{1+a} + t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+a}} \ln\left(t + \sqrt{t^2 + \frac{a}{1+a}}\right) \big|_0^{\infty} = \infty? Încă divergent. Se schimbă limitele: când xx de la 0 la π/2\pi/2, tt de la 0 la ∞\infty, dar integrantul nu tinde la 0 suficient de repede. De fapt, I(a)I(a) este integrală eliptică, nu elementară. Se modifică enunțul pentru a evita divergența: de exemplu, I(a)=∫0π/2sin⁡2x+acos⁡2xdxI(a) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin^2 x + a \cos^2 x} dx. Atunci:
12 puncte
I(a)=∫0π/2sin⁡2x+acos⁡2xdxI(a) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin^2 x + a \cos^2 x} dx. Cu t=tan⁡xt=\tan x, I(a)=∫0∞t2+a(1+t2)3/2dtI(a) = \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{t^2 + a}}{(1+t^2)^{3/2}} dt
22 puncte
Pentru a≥1a \geq 1, sin⁡2x+acos⁡2x≥acos⁡x\sqrt{\sin^2 x + a \cos^2 x} \geq \sqrt{a} \cos x, deci I(a)≥a∫0π/2cos⁡xdx=aI(a) \geq \sqrt{a} \int_0^{\pi/2} \cos x dx = \sqrt{a}, dar cerința e I(a)≤π2aI(a) \leq \frac{\pi}{2\sqrt{a}}, ceea ce e fals pentru aa mare. Se revizuiește complet. Se păstrează enunțul original dar se corectează în barem: I(a)I(a) este integrală eliptică de primul fel, I(a)=K(k)aI(a) = \frac{K(k)}{\sqrt{a}} cu k2=1−1/ak^2 = 1-1/a, dar nu e la nivel admitere. Se generează o problemă mai simplă: {"exercise": "Fie I(a)=∫01dxx2+aI(a) = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}}, a>0a > 0. a) Calculați I(a)I(a). b) Demonstrați că I(a)≤1aI(a) \leq \frac{1}{\sqrt{a}} pentru a≥1a \geq 1. c) Studiați convergența lim⁡a→0+I(a)\lim_{a \to 0^+} I(a).", "barem": "
12 puncte
I(a)=ln⁡(x+x2+a)∣01=ln⁡(1+1+a)−ln⁡aI(a) = \ln(x + \sqrt{x^2+a}) \big|_0^1 = \ln(1+\sqrt{1+a}) - \ln\sqrt{a}\n
22 puncte
Pentru a≥1a \geq 1, x2+a≥a\sqrt{x^2+a} \geq \sqrt{a}, deci 1x2+a≤1a\frac{1}{\sqrt{x^2+a}} \leq \frac{1}{\sqrt{a}}, integrând, I(a)≤1aI(a) \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\n
32 puncte
lim⁡a→0+I(a)=ln⁡(1+1)−lim⁡a→0+ln⁡a=ln⁡2−∞=−∞\lim_{a \to 0^+} I(a) = \ln(1+\sqrt{1}) - \lim_{a \to 0^+} \ln\sqrt{a} = \ln 2 - \infty = -\infty, deci diverge la −∞-\infty", "topics": ["Integrale definite", "Integrale cu parametri", "Inegalități cu integrale"], "difficulty": "greu"}

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.