GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definite
Fie I(a)=∫01ln⁡(1+ax)1+x2dxI(a) = \int_0^1 \frac{\ln(1 + a x)}{1 + x^2} dx, unde a>0a > 0. a) Calculați I′(a)I'(a) și deduceți o expresie pentru I(a)I(a) în funcție de aa. b) Folosind rezultatul de la a), calculați lim⁡n→∞n⋅I(1n)\lim_{n \to \infty} n \cdot I\left(\frac{1}{n}\right). c) Demonstrați inegalitatea ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx≤π8ln⁡2\int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} dx \leq \frac{\pi}{8} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Derivarea sub semnul integral: I′(a)=∫01x(1+ax)(1+x2)dxI'(a) = \int_0^1 \frac{x}{(1 + a x)(1 + x^2)} dx. Se integrează prin descompunere în fracții simple: x(1+ax)(1+x2)=A1+ax+Bx+C1+x2\frac{x}{(1 + a x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + a x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2}.
22 puncte
Se determină coeficienții: A=a1+a2A = \frac{a}{1 + a^2}, B=−a1+a2B = -\frac{a}{1 + a^2}, C=11+a2C = \frac{1}{1 + a^2}. Atunci I′(a)=∫01(a1+a2⋅11+ax+−ax+11+a2⋅11+x2)dxI'(a) = \int_0^1 \left(\frac{a}{1 + a^2} \cdot \frac{1}{1 + a x} + \frac{-a x + 1}{1 + a^2} \cdot \frac{1}{1 + x^2}\right) dx.
32 puncte
Se integrează: I′(a)=a1+a2⋅ln⁡(1+a)a+11+a2(arctan⁡1−a2ln⁡(1+12))=ln⁡(1+a)1+a2+π4(1+a2)−aln⁡22(1+a2)I'(a) = \frac{a}{1 + a^2} \cdot \frac{\ln(1 + a)}{a} + \frac{1}{1 + a^2} \left(\arctan 1 - \frac{a}{2} \ln(1 + 1^2)\right) = \frac{\ln(1 + a)}{1 + a^2} + \frac{\pi}{4(1 + a^2)} - \frac{a \ln 2}{2(1 + a^2)}.
42 puncte
Integrând I′(a)I'(a) de la 00 la aa și folosind I(0)=0I(0) = 0: I(a)=∫0a(ln⁡(1+t)1+t2+π4(1+t2)−tln⁡22(1+t2))dtI(a) = \int_0^a \left(\frac{\ln(1 + t)}{1 + t^2} + \frac{\pi}{4(1 + t^2)} - \frac{t \ln 2}{2(1 + t^2)}\right) dt. Pentru a) se poate lăsa sub această formă sau se poate integra mai departe, dar pentru b) și c) se folosește expresia lui I′(a)I'(a).
51 punct
Pentru b), lim⁡n→∞n⋅I(1n)=lim⁡n→∞I(1/n)1/n=I′(0)\lim_{n \to \infty} n \cdot I\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{I(1/n)}{1/n} = I'(0). Din I′(a)I'(a): I′(0)=lim⁡a→0(ln⁡(1+a)1+a2+π4(1+a2)−aln⁡22(1+a2))=0+π4−0=π4I'(0) = \lim_{a \to 0} \left(\frac{\ln(1 + a)}{1 + a^2} + \frac{\pi}{4(1 + a^2)} - \frac{a \ln 2}{2(1 + a^2)}\right) = 0 + \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.
61 punct
Pentru c), se consideră funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)1+x2−π8ln⁡2⋅2πarctan⁡xg(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} - \frac{\pi}{8} \ln 2 \cdot \frac{2}{\pi} \arctan x. Se arată că g′(x)≤0g'(x) \leq 0 pe [0,1][0,1] sau se folosește teorema de medie: ∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=ln⁡(1+c)∫0111+x2dx\int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} dx = \ln(1 + c) \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx pentru un c∈(0,1)c \in (0,1), deci ≤ln⁡2⋅π4⋅12=π8ln⁡2\leq \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.