MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieProprietăți ale integralelor
Să se calculeze integrala definită I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se consideră substituția t=π−xt = \pi - x și se obține J=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx, observând că I=JI = J datorită simetriei.
24 puncte
Se adună II și JJ: I+J=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2x dx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dxI + J = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
33 puncte
Se efectuează substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, astfel π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=π∫1−1−du1+u2=π∫−11du1+u2=π[arctan⁡u]−11=π(π4−(−π4))=π22\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \pi \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \pi [\arctan u]_{-1}^{1} = \pi \left( \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) = \frac{\pi^2}{2}. Deoarece I=JI = J, avem 2I=π222I = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.