MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Calculează integrala definită 0π2sinxsinx+cosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observați că, prin substituția xπ2xx \to \frac{\pi}{2} - x, avem 0π2sinxsinx+cosxdx=0π2cosxsinx+cosxdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx.
23 puncte
Adunați cele două integrale: 0π2sinxsinx+cosxdx+0π2cosxsinx+cosxdx=0π2sinx+cosxsinx+cosxdx=0π21dx=π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}.
32 puncte
Notați I=0π2sinxsinx+cosxdxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx. Din pașii precedenți, I+I=π2I + I = \frac{\pi}{2}, deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.
42 puncte
Răspuns final: π4\frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.