MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă ff pe intervalul [0,a][0,a], are loc egalitatea ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx. Apoi, folosind această proprietate, calculați integrala ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se face substituția u=a−xu = a - x în integrala ∫0af(x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx. Avem du=−dxdu = -dx, iar limitele devin de la x=0x=0 la u=au=a și de la x=ax=a la u=0u=0. Astfel, ∫0af(x) dx=−∫a0f(a−u) du=∫0af(a−u) du=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = -\int_{a}^{0} f(a-u) \, du = \int_{0}^{a} f(a-u) \, du = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx, unde s-a renunțat la variabila intermediară.
22 puncte
Se notează I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx. Aplicând proprietatea demonstrată cu a=πa = \pi, obținem I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x) dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} \, dx.
32 puncte
Se utilizează identitățile sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x. Integrala devine I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
43 puncte
Adunând expresiile pentru II, avem 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx. Se calculează această integrală prin substituția t=cos⁡xt = \cos x, dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x \, dx, limitele devenind de la x=0x=0 la t=1t=1 și de la x=πx=\pi la t=−1t=-1. Deci, ∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=−∫1−1dt1+t2=∫−11dt1+t2=[arctan⁡t]−11=π4−(−π4)=π2\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = -\int_{1}^{-1} \frac{dt}{1 + t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1 + t^2} = [\arctan t]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}. Atunci, 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, de unde I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.