MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveProprietăți ale integralelor
Să se calculeze integrala definită ∫0π/2sin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se observă că se poate face substituția u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx.
24 puncte
Se schimbă limitele de integrare: pentru x=0x=0, u=cos⁡0=1u=\cos 0=1; pentru x=π/2x=\pi/2, u=cos⁡(π/2)=0u=\cos(\pi/2)=0. Integrala devine ∫10−11+u2 du=∫0111+u2 du\int_{1}^{0} \frac{-1}{1+u^2} \, du = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^2} \, du.
34 puncte
Se calculează ∫0111+u2 du=arctan⁡u∣01=arctan⁡1−arctan⁡0=π4−0=π4\int_{0}^{1} \frac{1}{1+u^2} \, du = \arctan u \big|_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.