MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați aria regiunii mărginite de graficul funcției f(x)=x3−6x2+8xf(x) = x^3 - 6x^2 + 8x și axa Ox.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim rădăcinile funcției: f(x)=x(x2−6x+8)=x(x−2)(x−4)f(x) = x(x^2 - 6x + 8) = x(x-2)(x-4). Deci intersectează axa Ox în x=0x=0, x=2x=2, x=4x=4.
22 puncte
Determinăm semnul funcției pe intervale: pe (0,2)(0,2), f(x)>0f(x)>0; pe (2,4)(2,4), f(x)<0f(x)<0. Aria este suma integralelor absolute.
33 puncte
Scriem aria ca ∫02f(x) dx+∫24(−f(x)) dx=∫02(x3−6x2+8x) dx−∫24(x3−6x2+8x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} (-f(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx - \int_{2}^{4} (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx.
42 puncte
Calculăm integralele: ∫(x3−6x2+8x) dx=x44−2x3+4x2+C\int (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 + C. Evaluăm: ∫02=[x44−2x3+4x2]02=(4−16+16)−0=4\int_{0}^{2} = [ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 ]_{0}^{2} = (4 - 16 + 16) - 0 = 4; ∫24=[x44−2x3+4x2]24=(64−128+64)−(4−16+16)=0−4=−4\int_{2}^{4} = [ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 ]_{2}^{4} = (64 - 128 + 64) - (4 - 16 + 16) = 0 - 4 = -4, deci valoarea absolută este 4. Aria totală este 4+4=84 + 4 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.