MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria regiunii mărginite de curbele y=x3y = x^3 și y=4xy = 4x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină punctele de intersecție rezolvând x3=4xx^3 = 4x, de unde x(x2−4)=0x(x^2-4)=0, adică x=0x=0 și x=±2x=\pm2.\n
23 puncte
Se stabilește care curbă este deasupra pe fiecare interval. Pentru x∈[−2,0]x \in [-2,0], x3>4xx^3 > 4x, iar pentru x∈[0,2]x \in [0,2], 4x>x34x > x^3. Aria este ∫−20(x3−4x)dx+∫02(4x−x3)dx\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx + \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx.\n
33 puncte
Se calculează prima integrală: ∫−20(x3−4x)dx=[x44−2x2]−20=0−(164−2⋅4)=−(4−8)=4\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( \frac{16}{4} - 2 \cdot 4 \right) = - (4 - 8) = 4.\n
42 puncte
Se calculează a doua integrală: ∫02(4x−x3)dx=[2x2−x44]02=(2⋅4−164)−0=(8−4)=4\int_{0}^{2} (4x - x^3) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 2 \cdot 4 - \frac{16}{4} \right) - 0 = (8 - 4) = 4. Aria totală este 4+4=84 + 4 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.