MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că ∫0π2ln⁡(sin⁡x)dx=−π2ln⁡2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notați I=∫0π2ln⁡(sin⁡x)dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx.
22 puncte
Folosind substituția x=π2−tx = \frac{\pi}{2} - t, arătați că I=∫0π2ln⁡(cos⁡x)dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos x) dx.
32 puncte
Adunați cele două egalități pentru a obține 2I=∫0π2ln⁡(sin⁡xcos⁡x)dx2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x \cos x) dx.
42 puncte
Utilizați identitatea sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2 \sin x \cos x pentru a scrie ln⁡(sin⁡xcos⁡x)=ln⁡(sin⁡2x2)=ln⁡(sin⁡2x)−ln⁡2\ln(\sin x \cos x) = \ln\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) = \ln(\sin 2x) - \ln 2.
53 puncte
Aplicați substituția u=2xu = 2x în integrala ∫0π2ln⁡(sin⁡2x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) dx; obțineți 12∫0πln⁡(sin⁡u)du=I\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du = I (deoarece ∫0πln⁡(sin⁡u)du=2I\int_{0}^{\pi} \ln(\sin u) du = 2I din simetrie), deci 2I=I−π2ln⁡22I = I - \frac{\pi}{2} \ln 2, iar de aici I=−π2ln⁡2I = -\frac{\pi}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.