MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫02x34−x2 dx\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că integrala conține expresia 4−x2\sqrt{4-x^2}, ceea ce sugerează substituția trigonometrică x=2sin⁡tx = 2\sin t, cu t∈[0,π/2]t \in [0, \pi/2]. Atunci dx=2cos⁡t dtdx = 2\cos t \, dt și 4−x2=2cos⁡t\sqrt{4-x^2} = 2\cos t.
24 puncte
Se efectuează substituția: ∫02x34−x2 dx=∫0π/2(2sin⁡t)32cos⁡t⋅2cos⁡t dt=∫0π/28sin⁡3t dt\int_0^2 \frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}} \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{(2\sin t)^3}{2\cos t} \cdot 2\cos t \, dt = \int_0^{\pi/2} 8\sin^3 t \, dt.
33 puncte
Se calculează ∫0π/28sin⁡3t dt=8∫0π/2sin⁡2tsin⁡t dt=8∫0π/2(1−cos⁡2t)sin⁡t dt\int_0^{\pi/2} 8\sin^3 t \, dt = 8 \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \sin t \, dt = 8 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 t) \sin t \, dt. Se face substituția u=cos⁡tu = \cos t, du=−sin⁡t dtdu = -\sin t \, dt, limitele devin u(0)=1u(0)=1, u(π/2)=0u(\pi/2)=0, deci integrala este 8∫10(1−u2)(−du)=8∫01(1−u2) du=8[u−u33]01=8(1−13)=8⋅23=1638 \int_1^0 (1-u^2)(-du) = 8 \int_0^1 (1-u^2) \, du = 8 \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 8 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.