MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieProprietăți ale integralelor
Calculați integrala definită ∫01x31−x2 dx\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se alege substituția x=sin⁡tx = \sin t, cu dx=cos⁡t dtdx = \cos t \, dt, iar limitele devin t=0t = 0 pentru x=0x=0 și t=π2t = \frac{\pi}{2} pentru x=1x=1.
23 puncte
Integrala devine ∫0π2sin⁡3t1−sin⁡2tcos⁡t dt\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \cos t \, dt.
32 puncte
Se simplifică 1−sin⁡2t=cos⁡t\sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t (pentru t∈[0,π2]t \in [0, \frac{\pi}{2}]), deci integrala este ∫0π2sin⁡3t dt\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t \, dt.
43 puncte
Se calculează ∫0π2sin⁡3t dt=∫0π2sin⁡t(1−cos⁡2t) dt=[−cos⁡t+cos⁡3t3]0π2=(0)−(−1+13)=1−13=23\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t (1 - \cos^2 t) \, dt = \left[ -\cos t + \frac{\cos^3 t}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.