MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorIdentități algebrice
Să se calculeze integrala definită ∫−11x21+ex dx\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că funcția f(x)=x21+exf(x) = \frac{x^2}{1+e^x} nu este pară sau impară; luați în considerare substituția u=−xu = -x.
24 puncte
Demonstrați că f(x)+f(−x)=x2f(x) + f(-x) = x^2 pentru x∈[−1,1]x \in [-1,1], folosind identitatea 11+ex+11+e−x=1\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} = 1.
33 puncte
Calculați integrala: ∫−11f(x) dx=12∫−11x2 dx=12⋅[x33]−11=13\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.