MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrie
Să se calculeze integrala definită ∫01x21−x2 dx\int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicarea substituției x=sin⁡tx = \sin t, cu dx=cos⁡t dtdx = \cos t \, dt. Limitele de integrare devin: pentru x=0x=0, t=0t=0; pentru x=1x=1, t=π2t=\frac{\pi}{2}. Integrala devine ∫0π2sin⁡2t1−sin⁡2t cos⁡t dt\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \sqrt{1-\sin^2 t} \, \cos t \, dt.
24 puncte
Simplificarea expresiei: 1−sin⁡2t=cos⁡t\sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t (pentru t∈[0,π2]t \in [0, \frac{\pi}{2}]), deci integrala este ∫0π2sin⁡2tcos⁡2t dt\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt. Folosind identitatea sin⁡2tcos⁡2t=14sin⁡22t\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t, integrala devine 14∫0π2sin⁡22t dt\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt.
33 puncte
Utilizarea formulei sin⁡2u=1−cos⁡2u2\sin^2 u = \frac{1-\cos 2u}{2} cu u=2tu=2t, deci sin⁡22t=1−cos⁡4t2\sin^2 2t = \frac{1-\cos 4t}{2}. Atunci, 14∫0π21−cos⁡4t2 dt=18∫0π2(1−cos⁡4t) dt=18[t−sin⁡4t4]0π2=18(π2−0)=π16\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 4t}{2} \, dt = \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos 4t) \, dt = \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{16}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.