MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieIdentități algebrice
Calculați integrala definită: ∫0π/2sin⁡3xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că se poate folosi substituția x=π2−tx = \frac{\pi}{2} - t pentru a obține o integrală simetrică.
24 puncte
Aplicând substituția, integrala devine ∫0π/2cos⁡3tcos⁡t+sin⁡tdt\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^3 t}{\cos t + \sin t} dt. Adunând cele două integrale, se obține ∫0π/2sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx.
33 puncte
Folosind identitatea a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), se simplifică și se calculează integrala, obținând rezultatul final π4−12\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.