MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Să se calculeze integrala definită I=∫01x2+1x4+1 dxI = \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizăm numitorul: x4+1=(x2+2x+1)(x2−2x+1)x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1). Scriem x2+1x4+1=Ax+Bx2+2x+1+Cx+Dx2−2x+1\frac{x^2+1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1} și stabilim sistemul de ecuații prin echivalarea coeficienților.
24 puncte
Rezolvăm sistemul și obținem A=122A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, B=12B = \frac{1}{2}, C=−122C = -\frac{1}{2\sqrt{2}}, D=12D = \frac{1}{2}. Rescriem integrala: I=∫01(122x+12x2+2x+1+−122x+12x2−2x+1)dxI = \int_{0}^{1} \left( \frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right) dx.
33 puncte
Folosim substituții pentru a reduce integralele la forma ∫1u2+a2du\int \frac{1}{u^2 + a^2} du și aplicăm ∫1x2+a2dx=1aarctan⁡(xa)\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right). După calcul, obținem I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.