MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeGeometrie Analitică
Să se determine aria domeniului mărginit de curbele y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2} și y=2−xy = 2 - x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se rezolvă ecuația 4−x2=2−x\sqrt{4 - x^2} = 2 - x pentru a găsi punctele de intersecție. Prin ridicare la pătrat, se obține 4−x2=4−4x+x24 - x^2 = 4 - 4x + x^2, adică 2x2−4x=02x^2 - 4x = 0, deci x=0x=0 sau x=2x=2.
22 puncte
Se verifică că pentru x∈(0,2)x \in (0,2), avem 4−x2>2−x\sqrt{4 - x^2} > 2 - x, deci graficul lui y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2} este deasupra graficului lui y=2−xy = 2 - x pe intervalul [0,2][0,2].
33 puncte
Se scrie integrala pentru aria: ∫02(4−x2−(2−x))dx\int_{0}^{2} \left( \sqrt{4 - x^2} - (2 - x) \right) dx.
43 puncte
Se calculează integrala: ∫024−x2 dx=π\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \pi (aria unui sfert de cerc de rază 2) și ∫02(2−x) dx=[2x−x22]02=4−2=2\int_{0}^{2} (2 - x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 4 - 2 = 2. Aria totală este π−2\pi - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.