MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Determinați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=sin⁡xy = \sin x, y=cos⁡xy = \cos x, și dreptele x=0x=0 și x=π2x=\frac{\pi}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Găsim punctul de intersecție: sin⁡x=cos⁡x  ⟹  x=π4\sin x = \cos x \implies x = \frac{\pi}{4}.
23 puncte
Stabilim integralele: pentru x∈[0,π/4]x \in [0, \pi/4], cos⁡x≥sin⁡x\cos x \geq \sin x, deci aria este ∫0π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx; pentru x∈[π/4,π/2]x \in [\pi/4, \pi/2], sin⁡x≥cos⁡x\sin x \geq \cos x, deci aria este ∫π/4π/2(sin⁡x−cos⁡x) dx\int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \, dx.
33 puncte
Calculăm fiecare integrală: ∫(cos⁡x−sin⁡x)dx=sin⁡x+cos⁡x\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x, deci [sin⁡x+cos⁡x]0π/4=(sin⁡(π/4)+cos⁡(π/4))−(sin⁡0+cos⁡0)=2−1\left[ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\pi/4} = (\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)) - (\sin0 + \cos0) = \sqrt{2} - 1; ∫(sin⁡x−cos⁡x)dx=−cos⁡x−sin⁡x\int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x, deci [−cos⁡x−sin⁡x]π/4π/2=(−cos⁡(π/2)−sin⁡(π/2))−(−cos⁡(π/4)−sin⁡(π/4))=2−1\left[ -\cos x - \sin x \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2) - \sin(\pi/2)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4)) = \sqrt{2} - 1.
42 puncte
Adunăm ariile: (2−1)+(2−1)=22−2(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.