MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometriePrimitive
Să se calculeze integrala definită ∫0π/2sin⁡3xcos⁡2x dx\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos^2 x \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea sin⁡3x=sin⁡x(1−cos⁡2x)\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x) pentru a rescrie integrala ca ∫0π/2sin⁡x(1−cos⁡2x)cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi/2} \sin x (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \, dx.
23 puncte
Aplicați substituția u=cos⁡xu = \cos x, cu du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx, și ajustați limitele de integrare: când x=0x = 0, u=1u = 1; când x=π/2x = \pi/2, u=0u = 0. Integrala devine −∫10(1−u2)u2 du=∫01(u2−u4) du-\int_{1}^{0} (1 - u^2) u^2 \, du = \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) \, du.
34 puncte
Calculați integrala: ∫01(u2−u4) du=[u33−u55]01=13−15=215\int_{0}^{1} (u^2 - u^4) \, du = \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.