MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x pe intervalul [0,π][0, \pi] în jurul axei OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie formula volumului de rotație: V=π∫0π[f(x)]2dx=π∫0πe−2xsin⁡2xdxV = \pi \int_0^{\pi} [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^{\pi} e^{-2x} \sin^2 x dx.
23 puncte
Se utilizează identitatea sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} pentru a rescrie integrala ca V=π2∫0πe−2x(1−cos⁡2x)dxV = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} e^{-2x} (1 - \cos 2x) dx.
33 puncte
Se evaluează separat integralele ∫0πe−2xdx\int_0^{\pi} e^{-2x} dx și ∫0πe−2xcos⁡2xdx\int_0^{\pi} e^{-2x} \cos 2x dx, folosind integrare sau formule.
42 puncte
Se combină rezultatele pentru a obține volumul final V=π8(1−e−2π)V = \frac{\pi}{8} (1 - e^{-2\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.