MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveProprietăți ale integralelor
Demonstrați că ∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=π2\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică substituția u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡x dxdu = -\sin x \, dx. Limitele de integrare se schimbă: pentru x=0x=0, u=1u=1; pentru x=πx=\pi, u=−1u=-1. Integrala devine ∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2\int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}.
23 puncte
Se calculează integrala ∫du1+u2\int \frac{du}{1+u^2} ca fiind arctan⁡u\arctan u. Astfel, obținem [arctan⁡u]−11\left[ \arctan u \right]_{-1}^{1}.
33 puncte
Evaluând, arctan⁡(1)=π4\arctan(1) = \frac{\pi}{4} și arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, deci rezultatul este π4−(−π4)=π2\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.