MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieProprietăți ale integralelor
Să se calculeze integrala definită ∫0π/2sin⁡x1+cos⁡2xdx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se observă că derivata lui cos⁡x\cos x este −sin⁡x-\sin x, deci se poate face substituția t=cos⁡xt = \cos x, dt=−sin⁡xdxdt = -\sin x dx.
24 puncte
Schimbarea limitelor: când x=0x=0, t=cos⁡0=1t=\cos 0=1; când x=π/2x=\pi/2, t=cos⁡(π/2)=0t=\cos(\pi/2)=0. Integrala devine ∫10−dt1+t2=∫01dt1+t2\int_{1}^{0} \frac{-dt}{1+t^2} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2}.
34 puncte
∫01dt1+t2=[arctan⁡t]01=arctan⁡1−arctan⁡0=π4−0=π4\int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = [\arctan t]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.