MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteȘiruri de numere realeProprietăți ale integralelor
Calculați limita: lim⁡n→∞∫01xn1+x dx\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că pentru orice x∈[0,1]x \in [0,1], avem 0≤xn1+x≤xn0 \leq \frac{x^n}{1+x} \leq x^n și lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x^n = 0 pentru x<1x < 1, iar pentru x=1x=1, valoarea este 12\frac{1}{2}.
24 puncte
Folosim teorema convergenței dominate. Funcția g(x)=1g(x) = 1 este integrabilă pe [0,1] și ∣xn1+x∣≤1|\frac{x^n}{1+x}| \leq 1 pentru x∈[0,1]x \in [0,1]. Așadar, putem trece limita sub integrală: lim⁡n→∞∫01xn1+xdx=∫01lim⁡n→∞xn1+xdx\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} dx = \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{1+x} dx.
33 puncte
Calculăm limita punctuală: pentru x∈[0,1)x \in [0,1), lim⁡n→∞xn1+x=0\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{1+x} = 0, iar pentru x=1x=1, este 12\frac{1}{2}. Deoarece punctul x=1x=1 are măsură nulă, integrala este ∫010 dx=0\int_{0}^{1} 0 \, dx = 0. Deci, lim⁡n→∞∫01xn1+xdx=0\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} dx = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.