MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Să se calculeze integrala definită ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se folosește substituția x=π−ux = \pi - u. Atunci dx=−dudx = -du, iar limitele de integrare devin: când x=0x=0, u=πu=\pi; când x=πx=\pi, u=0u=0. Integrala devine I=∫π0(π−u)sin⁡(π−u)1+cos⁡2(π−u)(−du)=∫0π(π−u)sin⁡u1+cos⁡2u duI = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u) \sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} (-du) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1 + \cos^2 u} \, du.
21 punct
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx. Din step 1, prin schimbarea variabilei, avem I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: 2I=∫0πxsin⁡x+(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
43 puncte
Se calculează J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx. Cu substituția t=cos⁡xt = \cos x, avem dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x \, dx, deci J=∫1−1−dt1+t2=∫−11dt1+t2=[arctan⁡t]−11=arctan⁡(1)−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1 + t^2} = [\arctan t]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.
52 puncte
Atunci 2I=π⋅J=π⋅π2=π222I = \pi \cdot J = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, de unde rezultă I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.