MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveProprietăți ale integralelor
Calculați integrala definită ∫01x31−x2dx\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că se poate folosi substituția u=1−x2u = 1 - x^2, cu du=−2xdxdu = -2x dx, deci xdx=−12dux dx = -\frac{1}{2} du.
24 puncte
Rescriem integrala: ∫01x31−x2dx=∫01x2⋅x1−x2dx\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{1-x^2}} dx. Cu substituția, x2=1−ux^2 = 1-u, iar limitele devin: când x=0x=0, u=1u=1; când x=1x=1, u=0u=0. Integrala devine ∫101−uu⋅(−12)du=12∫01(u−1/2−u1/2)du\int_{1}^{0} \frac{1-u}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (u^{-1/2} - u^{1/2}) du.
33 puncte
Calculăm: 12∫01(u−1/2−u1/2)du=12[2u1/2−23u3/2]01=12(2−23)=12⋅43=23\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (u^{-1/2} - u^{1/2}) du = \frac{1}{2} [2u^{1/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (2 - \frac{2}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.