MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorPrimitive
Calculați integrala definită ∫01x1+x2 dx\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \, dx și folosiți rezultatul pentru a determina valoarea lui ∫03t21+t2 dt\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}} \, dt.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm u=1+x2u = 1 + x^2, deci du=2xdxdu = 2x dx, iar integrala devine 12∫12duu=12[2u]12=2−1\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_{1}^{2} = \sqrt{2} - 1.
24 puncte
Pentru ∫03t21+t2 dt\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}} \, dt, scriem t2=(1+t2)−1t^2 = (1+t^2) - 1, astfel încât integrala se descompune în ∫031+t2 dt−∫0311+t2 dt\int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1+t^2} \, dt - \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \, dt. Folosim identitatea pentru ∫1+t2 dt\int \sqrt{1+t^2} \, dt și legătura cu derivata lui t1+t2t\sqrt{1+t^2}.
33 puncte
Calculăm ∫031+t2 dt=[t21+t2+12ln⁡∣t+1+t2∣]03\int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{1+t^2} \, dt = \left[ \frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2} \ln|t+\sqrt{1+t^2}| \right]_{0}^{\sqrt{3}} și ∫0311+t2 dt=[ln⁡∣t+1+t2∣]03\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \, dt = \left[ \ln|t+\sqrt{1+t^2}| \right]_{0}^{\sqrt{3}}. Combinăm cu rezultatul de la pasul 1 și simplificăm pentru a obține valoarea finală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.