MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă ff pe intervalul [0,a][0,a], avem ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx. Apoi, folosiți această proprietate pentru a calcula integrala ∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru demonstrație, facem substituția u=a−xu = a - x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele se schimbă: când x=0x=0, u=au=a; când x=ax=a, u=0u=0. Avem ∫0af(x)dx=∫a0f(a−u)(−du)=∫0af(a−u)du=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(a-u) (-du) = \int_{0}^{a} f(a-u) du = \int_{0}^{a} f(a-x) dx, folosind schimbarea variabilei de integrare.
24 puncte
Aplicăm proprietatea pentru integrala dată cu a=π2a = \frac{\pi}{2} și f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}. Obținem ∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π2sin⁡(π2−x)sin⁡(π2−x)+cos⁡(π2−x)dx=∫0π2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{\sin(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx.
33 puncte
Notăm I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx. Din pasul anterior, avem și I=∫0π2cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx. Adunând, 2I=∫0π2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π21dx=π22I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2}. Deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.