MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă ff pe intervalul [a,b][a,b], avem ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx. Apoi, folosind această proprietate, calculați ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Pentru demonstrație, facem schimbarea de variabilă t=a+b−xt = a+b-x. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: când x=ax = a, t=bt = b, și când x=bx = b, t=at = a. Astfel, ∫abf(a+b−x) dx=∫baf(t) (−dt)=∫abf(t) dt=∫abf(x) dx\int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx = \int_{b}^{a} f(t) \, (-dt) = \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(x) \, dx.
23 puncte
Aplicăm proprietatea pentru integrala dată cu a=0a=0, b=π/2b=\pi/2. Notăm I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx. Folosind f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}, avem I=∫0π/2sin⁡(π/2−x)sin⁡(π/2−x)+cos⁡(π/2−x) dx=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dxI = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: I+I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx+∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dx=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π/21 dx=π/2I + I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \pi/2. Deci, 2I=π/22I = \pi/2, iar I=π/4I = \pi/4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.