MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați volumul corpului de rotație obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției f:[0,π]→Rf : [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Volumul este dat de formula V=π∫0π[f(x)]2dx=π∫0πsin⁡2xdxV = \pi \int_{0}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx.\n
23 puncte
Folosiți identitatea trigonometrică sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} pentru a rescrie integrala: ∫0πsin⁡2xdx=∫0π1−cos⁡2x2dx\int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx.\n
33 puncte
Calculați integrala: ∫0π1−cos⁡2x2dx=12∫0π1dx−12∫0πcos⁡2xdx=12[x]0π−12[sin⁡2x2]0π\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos 2x dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{\pi} - \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi}.\n
42 puncte
Evaluați: 12(π−0)−14(sin⁡2π−sin⁡0)=π2−0=π2\frac{1}{2} (\pi - 0) - \frac{1}{4} (\sin 2\pi - \sin 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}. Așadar, V=π⋅π2=π22V = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.