MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} și dreapta x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificați punctele de intersecție: curbele y=exy = e^x și y=e−xy = e^{-x} se intersectează la x=0x=0 (unde y=1y=1). Dreapta x=1x=1 delimitează domeniul, deci aria se calculează pentru x∈[0,1]x \in [0,1].
23 puncte
Pe intervalul [0,1][0,1], avem ex≥e−xe^x \geq e^{-x}, deci aria este dată de integrala ∫01(ex−e−x) dx\int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) \, dx.
33 puncte
Calculați integrala: ∫(ex−e−x)dx=ex+e−x\int (e^x - e^{-x}) dx = e^x + e^{-x}, deoarece derivata lui e−xe^{-x} este −e−x-e^{-x}.
42 puncte
Evaluați la limite: [ex+e−x]01=(e+e−1)−(1+1)=e+1e−2[e^x + e^{-x}]_{0}^{1} = (e + e^{-1}) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.