MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a regiunii plane mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=xy = \sqrt{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Găsiți punctele de intersecție rezolvând ecuația x2=xx^2 = \sqrt{x}, care dă x=0x = 0 și x=1x = 1.
23 puncte
Pe intervalul [0,1][0,1], funcția y=xy = \sqrt{x} este mai mare decât y=x2y = x^2, deci volumul este V=π∫01((x)2−(x2)2)dx=π∫01(x−x4) dxV = \pi \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right) dx = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx.
33 puncte
Calculați integrala: ∫01(x−x4) dx=[x22−x55]01=12−15=310\int_{0}^{1} (x - x^4) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}.
42 puncte
Obțineți volumul: V=π⋅310=3π10V = \pi \cdot \frac{3}{10} = \frac{3\pi}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.