MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determină aria regiunii plane mărginite de curba y=x2−2xy = x^2 - 2x, axa Ox și dreptele x=−1x = -1 și x=3x = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se găsesc punctele de intersecție cu axa Ox rezolvând x2−2x=0x^2 - 2x = 0, adică x(x−2)=0x(x-2)=0, deci x=0x=0 și x=2x=2. Se determină semnul funcției pe [−1,3][-1,3]: f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x∈[−1,0]∪[2,3]x \in [-1,0] \cup [2,3] și f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru x∈[0,2]x \in [0,2]. Aria totală este suma integralelor cu valoare absolută: A=∫−10(x2−2x)dx+∫02(−(x2−2x))dx+∫23(x2−2x)dxA = \int_{-1}^{0} (x^2-2x) dx + \int_{0}^{2} (-(x^2-2x)) dx + \int_{2}^{3} (x^2-2x) dx.
24 puncte
Se calculează fiecare integrală: ∫(x2−2x)dx=x33−x2+C\int (x^2-2x) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + C. Astfel, ∫−10(x2−2x)dx=[x33−x2]−10=0−(−13−1)=43\int_{-1}^{0} (x^2-2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{-1}{3} - 1 \right) = \frac{4}{3}, ∫02(−x2+2x)dx=[−x33+x2]02=(−83+4)−0=43\int_{0}^{2} (-x^2+2x) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) - 0 = \frac{4}{3}, și ∫23(x2−2x)dx=[x33−x2]23=(9−9)−(83−4)=43\int_{2}^{3} (x^2-2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{3} = \left( 9 - 9 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = \frac{4}{3}.
33 puncte
Se adună ariile: A=43+43+43=4A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4. Deci aria este 44.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.