MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieLogaritmi
Calculează integrala definită ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observăm că putem folosi substituția x=tan⁡tx = \tan t. Atunci dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt și limitele devin: pentru x=0x=0, t=0t=0; pentru x=1x=1, t=π4t=\frac{\pi}{4}.
23 puncte
Integrala devine ∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t) dt\int_{0}^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, dt, deoarece sec⁡2t=1+tan⁡2t\sec^2 t = 1 + \tan^2 t.
32 puncte
Folosim identitatea ln⁡(1+tan⁡t)=ln⁡(sin⁡t+cos⁡tcos⁡t)=ln⁡(sin⁡t+cos⁡t)−ln⁡(cos⁡t)\ln(1+\tan t) = \ln\left(\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}\right) = \ln(\sin t + \cos t) - \ln(\cos t) și reducem integrala la o formă mai simplă.
42 puncte
Efectuând calculele, obținem că valoarea integralei este π8ln⁡2\frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.