MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Determinați aria regiunii plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=2x−1y = 2x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se găsesc punctele de intersecție rezolvând ecuația x2−4x+3=2x−1x^2 - 4x + 3 = 2x - 1.
22 puncte
Se obține x2−6x+4=0x^2 - 6x + 4 = 0, cu soluțiile x=3±5x = 3 \pm \sqrt{5}.
32 puncte
Aria este dată de integrala A=∫3−53+5[(2x−1)−(x2−4x+3)]dxA = \int_{3-\sqrt{5}}^{3+\sqrt{5}} [(2x-1) - (x^2 - 4x + 3)] dx.
41 punct
Se simplifică integrandul: (2x−1)−(x2−4x+3)=−x2+6x−4(2x-1) - (x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 6x - 4.
52 puncte
Se calculează integrala nedefinită: ∫(−x2+6x−4)dx=−x33+3x2−4x+C\int (-x^2 + 6x - 4) dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4x + C.
61 punct
Se evaluează: A=[−x33+3x2−4x]3−53+5=(−(3+5)33+3(3+5)2−4(3+5))−(−(3−5)33+3(3−5)2−4(3−5))A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4x \right]_{3-\sqrt{5}}^{3+\sqrt{5}} = \left( -\frac{(3+\sqrt{5})^3}{3} + 3(3+\sqrt{5})^2 - 4(3+\sqrt{5}) \right) - \left( -\frac{(3-\sqrt{5})^3}{3} + 3(3-\sqrt{5})^2 - 4(3-\sqrt{5}) \right). După calcule algebrice, se obține A=853A = \frac{8\sqrt{5}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.