MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Demonstrați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx. Aplicăm substituția t=π−xt = \pi - x; atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: când x=0x=0, t=πt=\pi; când x=πx=\pi, t=0t=0. Obținem I=∫π0(π−t)sin⁡(π−t)1+cos⁡2(π−t)(−dt)=∫0π(π−t)sin⁡t1+cos⁡2tdtI = \int_{\pi}^0 \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1+\cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} dt.
23 puncte
Adunăm expresia originală a lui II cu cea obținută: 2I=∫0πxsin⁡x+(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_0^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx.
32 puncte
Simplificăm: 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx. Folosim substituția u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx; limitele: când x=0x=0, u=1u=1; când x=πx=\pi, u=−1u=-1. Integrala devine π∫1−1−du1+u2=π∫−11du1+u2\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}.
42 puncte
Evaluăm ∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=arctan⁡1−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π2\int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^1 = \arctan 1 - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}. Așadar, 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, de unde I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.