MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmiTrigonometrie
Să se calculeze integrala definită I=∫01ln⁡(1+x)1+x2 dxI = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se aplică substituția x=tan⁡tx = \tan t, cu dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt. Limitele devin t=0t=0 pentru x=0x=0 și t=π4t=\frac{\pi}{4} pentru x=1x=1. Integrala devine I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt.
23 puncte
Se utilizează proprietatea ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx cu a=π4a = \frac{\pi}{4}. Notând J=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtJ = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt, avem J=∫0π4ln⁡(1+tan⁡(π4−t)) dt=∫0π4ln⁡(1+1−tan⁡t1+tan⁡t) dt=∫0π4ln⁡(21+tan⁡t) dtJ = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4} - t)) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}\right) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan t}\right) \, dt.
33 puncte
Adunând expresiile pentru JJ din step 1 și step 2, obținem 2J=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dt+∫0π4ln⁡(21+tan⁡t) dt=∫0π4ln⁡(2) dt=π4ln⁡22J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan t}\right) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(2) \, dt = \frac{\pi}{4} \ln 2. Deci J=π8ln⁡2J = \frac{\pi}{8} \ln 2, iar integrala inițială I=J=π8ln⁡2I = J = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.