MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieProprietăți ale integralelor
Calculați integrala definită ∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx. Observăm că putem folosi substituția t=π2−xt = \frac{\pi}{2} - x pentru a exploata simetria.
24 puncte
Aplicând substituția, obținem I=∫0π2cos⁡tcos⁡t+sin⁡t dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \, dt. Adunând cele două expresii pentru II, avem 2I=∫0π2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π21 dx2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx.
33 puncte
Calculăm ∫0π21 dx=π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}, deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.