GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definiteTrigonometrieLogaritmi
Demonstrați că ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π8ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2. Apoi, folosiți acest rezultat pentru a calcula ∫01arctan⁡x1+x dx\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{1+x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru demonstrație, se consideră substituția x=tan⁡tx = \tan t, cu t∈[0,π4]t \in [0, \frac{\pi}{4}]. Atunci dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt și 1+x2=1+tan⁡2t=sec⁡2t1+x^2 = 1+\tan^2 t = \sec^2 t. Integrala devine ∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)sec⁡2tsec⁡2t dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dt\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{\sec^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt.
23 puncte
Se folosește identitatea ln⁡(1+tan⁡t)=ln⁡(sin⁡t+cos⁡tcos⁡t)=ln⁡(2cos⁡(π4−t))−ln⁡(cos⁡t)\ln(1+\tan t) = \ln\left(\frac{\sin t + \cos t}{\cos t}\right) = \ln(\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - t)) - \ln(\cos t). Integrala se descompune în două părți: ∫0π4ln⁡(2cos⁡(π4−t)) dt−∫0π4ln⁡(cos⁡t) dt\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - t)) \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos t) \, dt.
32 puncte
Prima integrală, prin substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t, devine ∫0π4ln⁡(2cos⁡u) du=π4ln⁡2+∫0π4ln⁡(cos⁡u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sqrt{2} \cos u) \, du = \frac{\pi}{4} \ln\sqrt{2} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos u) \, du. Cele două integrale cu ln⁡(cos⁡t)\ln(\cos t) se anulează, rămânând π4ln⁡2=π8ln⁡2\frac{\pi}{4} \ln\sqrt{2} = \frac{\pi}{8} \ln 2.
42 puncte
Pentru a doua integrală, ∫01arctan⁡x1+x dx\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{1+x} \, dx, se aplică integrarea prin părți: u=arctan⁡xu = \arctan x, dv=11+xdxdv = \frac{1}{1+x} dx, deci du=11+x2dxdu = \frac{1}{1+x^2} dx, v=ln⁡(1+x)v = \ln(1+x). Se obține [arctan⁡xln⁡(1+x)]01−∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π4ln⁡2−π8ln⁡2=π8ln⁡2[\arctan x \ln(1+x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} \ln 2 - \frac{\pi}{8} \ln 2 = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.