MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveArii și volume
Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției f:[0,1]→Rf: [0,1] \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Volumul este dat de V=π∫01[f(x)]2 dx=π∫01[ln⁡(x+1)]2 dxV = \pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} [\ln(x+1)]^2 \, dx.
24 puncte
Pentru a găsi primitiva, aplicați integrarea prin părți: alegeți u=[ln⁡(x+1)]2u = [\ln(x+1)]^2, dv=dxdv = dx, obținând ∫[ln⁡(x+1)]2 dx=x[ln⁡(x+1)]2−2∫xln⁡(x+1)x+1 dx\int [\ln(x+1)]^2 \, dx = x[\ln(x+1)]^2 - 2\int \frac{x \ln(x+1)}{x+1} \, dx, apoi simplificați integrala rămasă.
34 puncte
Evaluați integrala definită folosind primitiva x[ln⁡(x+1)]2−2xln⁡(x+1)+2x−2ln⁡(x+1)x[\ln(x+1)]^2 - 2x \ln(x+1) + 2x - 2\ln(x+1) și calculați V=π(3ln⁡2−2)V = \pi \left( 3\ln 2 - 2 \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.