MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determină volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2xy = 2x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determină punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x2=2xx^2 = 2x, adică x2−2x=0x^2 - 2x = 0, de unde x(x−2)=0x(x-2)=0, cu soluțiile x=0x=0 și x=2x=2. Intervalul de integrare este [0,2][0,2].\n
24 puncte
Pentru x∈[0,2]x \in [0,2], funcția y=2xy = 2x este deasupra funcției y=x2y = x^2, deci volumul se calculează folosind metoda inelelor: V=π∫02[(2x)2−(x2)2] dx=π∫02(4x2−x4) dxV = \pi \int_{0}^{2} \left[ (2x)^2 - (x^2)^2 \right] \, dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx.\n
33 puncte
Evaluează integrala: π∫02(4x2−x4) dx=π[43x3−15x5]02=π(43⋅8−15⋅32)=π(323−325)=π⋅160−9615=64π15\pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \, dx = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot 32 \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = \pi \cdot \frac{160 - 96}{15} = \frac{64\pi}{15}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.