MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Fie a>0a > 0. Să se determine aa astfel încât aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=a−x2y = a - x^2 să fie egală cu 163\frac{16}{3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se găsesc punctele de intersecție ale curbelor rezolvând x2=a−x2x^2 = a - x^2, deci 2x2=a2x^2 = a, adică x=±a2x = \pm \sqrt{\frac{a}{2}}.
23 puncte
Aria se exprimă ca integrala definită: A=∫−a/2a/2[(a−x2)−x2] dx=∫−a/2a/2(a−2x2) dxA = \int_{-\sqrt{a/2}}^{\sqrt{a/2}} [(a - x^2) - x^2] \, dx = \int_{-\sqrt{a/2}}^{\sqrt{a/2}} (a - 2x^2) \, dx.
33 puncte
Se calculează integrala: A=[ax−2x33]−a/2a/2=2(aa2−23(a2)3/2)=4a3/232A = \left[ a x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-\sqrt{a/2}}^{\sqrt{a/2}} = 2 \left( a \sqrt{\frac{a}{2}} - \frac{2}{3} \left( \frac{a}{2} \right)^{3/2} \right) = \frac{4a^{3/2}}{3\sqrt{2}}.
42 puncte
Se rezolvă ecuația 4a3/232=163\frac{4a^{3/2}}{3\sqrt{2}} = \frac{16}{3}, deci a3/2=42a^{3/2} = 4\sqrt{2}, adică a3=32a^3 = 32, de unde a=243a = 2\sqrt[3]{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.