MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Să se determine volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și y=2x−x2y = 2x - x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se determină punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x2=2x−x2x^2 = 2x - x^2. Se obține 2x2−2x=0⇒2x(x−1)=02x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x-1)=0, deci x=0x=0 și x=1x=1. În intervalul [0,1][0,1], curba y=2x−x2y=2x-x^2 este deasupra curbei y=x2y=x^2.
23 puncte
Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox este dat de formula V=π∫ab[f(x)2−g(x)2] dxV = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx, unde f(x)f(x) este funcția superioară și g(x)g(x) cea inferioară. Aici, f(x)=2x−x2f(x) = 2x - x^2 și g(x)=x2g(x) = x^2.
33 puncte
Se calculează integrala: V=π∫01[(2x−x2)2−(x2)2] dx=π∫01[4x2−4x3+x4−x4] dx=π∫01(4x2−4x3) dx=π[4x33−x4]01=π(43−1)=π⋅13=π3V = \pi \int_{0}^{1} [(2x - x^2)^2 - (x^2)^2] \, dx = \pi \int_{0}^{1} [4x^2 - 4x^3 + x^4 - x^4] \, dx = \pi \int_{0}^{1} (4x^2 - 4x^3) \, dx = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{4}{3} - 1 \right) = \pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.