MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, ∫0π2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx dx=π4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx = \frac{\pi}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm In=∫0π2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx dxI_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx și aplicăm substituția t=π2−xt = \frac{\pi}{2} - x. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: când x=0x=0, t=π2t=\frac{\pi}{2}; când x=π2x=\frac{\pi}{2}, t=0t=0. Obținem In=∫π20sin⁡n(π2−t)sin⁡n(π2−t)+cos⁡n(π2−t) (−dt)I_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin^n(\frac{\pi}{2} - t)}{\sin^n(\frac{\pi}{2} - t) + \cos^n(\frac{\pi}{2} - t)} \, (-dt).
23 puncte
Simplificăm folosind identitățile trigonometrice: sin⁡(π2−t)=cos⁡t\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t și cos⁡(π2−t)=sin⁡t\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin t. Astfel, In=∫0π2cos⁡ntcos⁡nt+sin⁡nt dtI_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^n t}{\cos^n t + \sin^n t} \, dt.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru InI_n: 2In=∫0π2sin⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx dx+∫0π2cos⁡nxcos⁡nx+sin⁡nx dx=∫0π2sin⁡nx+cos⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx dx2I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^n x + \cos^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \, dx.
42 puncte
Simplificăm integrandul: sin⁡nx+cos⁡nxsin⁡nx+cos⁡nx=1\frac{\sin^n x + \cos^n x}{\sin^n x + \cos^n x} = 1, deci 2In=∫0π21 dx=[x]0π2=π22I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}. Prin urmare, In=π4I_n = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.