MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitive
Calculați integrala definită ∫01x2+1x4+1 dx\int_{0}^{1} \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți integrandul sub forma x2+1x4+1=12(1x2−2x+1+1x2+2x+1)\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} + \frac{1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \right).
23 puncte
Completați pătratele pentru fiecare termen: x2±2x+1=(x±22)2+12x^2 \pm \sqrt{2}x + 1 = \left(x \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}.
32 puncte
Folosiți substituția trigonometrică pentru fiecare integrală, de exemplu pentru primul termen: x−22=12tan⁡(t)x - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan(t).
42 puncte
Evaluați integralele și combinați rezultatele, obținând π22\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.