MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Calculați integrala definită ∫−11x21+exdx\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că integrala poate fi rescrisă folosind proprietatea ∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx, unde f(x)=x21+exf(x) = \frac{x^2}{1+e^x}.
24 puncte
Calculați f(x)+f(−x)=x21+ex+x21+e−x=x2(11+ex+ex1+ex)=x2f(x) + f(-x) = \frac{x^2}{1+e^x} + \frac{x^2}{1+e^{-x}} = x^2 \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{e^x}{1+e^x} \right) = x^2.
33 puncte
Integrala devine ∫01x2dx=[x33]01=13\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.